יום שני, 20 אוגוסט, 2012, 22:51

מגדלי האנוי

הכל התחיל אתמול אחה"צ. זה היה אחד מאותם אחה"צים בהם יובל יושב עם כל הילדים על הדשא ומאפשר לי לעשות בתוך הבית דברים שהם לא טל, תוך שהוא נוכח בגוף ובראש (עם הילדות, לא איתי). זמן איכות מהאיכותיים שיש (אבא אליפות. בחרתי טוב).

הפעם, אחרי שפרס שמיכה על הדשא ושם כמה צעצועים לטל כדי שיהיה לו משהו לעשות (חוץ מלרעות בערוגת החסות), נטע נזכרה במשהו שיובל הראה להן קודם והתחילה לשחק במגדל הטבעות הצבעוניות של טל.

היא שיחקה בהן את "מגדלי האנוי".


אני לא זוכרת מתי נתקלתי לראשונה במגדלי האנוי אבל נראה לי שזאת הדוגמא הקלאסית לרקורסיה ובטח נתקלתי בזה בשנה הראשונה בטכניון.
למי שלא מכירה – מדובר במגדל של כך וכל דיסקיות בקטרים הולכים וגדלים (ממש כמו במגדל של טל) שיש להעתיק למקום אחר, כשהתנאים הם שמותר להעביר דיסקית אחת בכל פעם, ומותר להניח דיסקית רק על דיסקית אחרת גדולה ממנה.

(12$ ומשחק החשיבה הזה שלכם. אם מתעלמים מהאתגר המתמטי ומתיחסים לזה כאל צעצוע אנטרופוסופי זה ממש זול).


בחזרה לדשא. נטע התלבשה על זה והתחילה לשחק במרץ.
או אולי זאת היתה אור שהתחילה ונטע חטפה לה?
לא יודעת. אני הייתי בפנים, עושה דברים שהם לא טל. כשאני יצאתי (לזרוע ערוגת חסות חדשה בשביל טל ולשתול בזיליקומים בעציצים גדולים) מצאתי את יובל מנסר עץ ניסורי ניחומים לאור ובגיחה הבאה מגירת הצבעים האקריליים של הילדות שלי היתה בחוץ וכולם היו או צובעים או משייפים או אוכלים עלים יבשים. לא יכולתי שלא לקחת מכחול ולהצטרף לצביעה של המגדל החדש שאור ויובל יצרו ביחד.

מכאן זה כבר גלש כמו שזה גולש, לכיוונים שאי אפשר לשער מראש.
נטע הלכה והתמקצעה. אור קיבלה מיובל מגדלים מעופפים לצפיה במחשב וניסתה לשער כמה זמן יקח להעביר מגדלים בגדלים שונים.

היום מצאתי את אור ויובל מנסים לחשב ממש כמה זמן יקח להעביר מגדל של 20 קומות. הם הכינו טבלא ובה הכניסו את מספר המהלכים הנדרש לכל גודל של מגדל, החל מקומה אחת ועד עשר (לא לפי חישוב אלא לפי העברה של ממש שאור ביצעה וספרה עד גובה 6 ומשם מצאו את החוקיות ואת אברי הסדרה הבאים).
השאלה בה הם דנו היא: איך אפשר למצוא את מספר המהלכים (המינימלי) של מגדל בן 20 קומות, בלי לחשב את מגדלים 11-19.

הם באו אלי עם הטבלא וההפרשים ושאלו אותי אם יש לי רעיון.
לצערי לא הספקתי לחשוב על זה וחוץ מאשר זה שברור שכל איבר הוא פי שניים, ועוד אחד, מהאיבר הקודם, וחוץ מזה שאני יכולה לראות שהחוקיות העולה מהטבלא שלהם היא שמספר המהלכים הוא שתיים בחזקת אן, פחות 1 (ובטח אם תתנו לי עיפרון ודף גם אצליח להוכיח תוך דקה באינדוקציה. אבל לא כרגע כי אני מיניקה), אין לי רעיון בשליפה איך הם יכולים להוכיח את זה.
אה רגע.
אני רואה שההפרשים בין איברי הסדרה הם חזקות של שתיים אז אולי תעשו סכימה של סדרה הנדסית?

אז אור למדה מושג חדש – חזקה.
ובחצי אוזן שמעתי את יובל אומר לה משהו והיא אומרת לו שהיא לא מאמינה לו (באמת שתיים בעשירית זה אלף עשרים וארבע!?) והוא אמר לה שיופי שהיא לא מאמינה ושתמיד לא תאמין ותבדוק בעצמה.
השלב הבא היה הוכחה קלי קלולה שהסכום של הסדרה הזאת שתיים בחזקת אן, פחות אחד.

כי לפני שבוע כולם פה התעסקו עם השיטה הבינארית. זה נבע מתוך קסם שיובל הראה להן.
כשהם עסקו בזה וביצוג בינארי של מספרים עשרוניים הם למדו שתמיד אחרי 1111 יבוא 10000 וכן הלאה. שזה בדיוק זה. בדיוק הסכימה שחיפשו להוכיח כאן.

בטח פספסתי הרבה מהשיח בין יובל לאור (יובל, תשלים לי?) אבל ככה, ברגע לכיבוי אורות, אור מצאה כמה שבועות רצופים יקח להעביר מגדל של 20 קומות.

יש אפליקציה שמראה את המגדל של 32, שהתחיל ב1.1.70 ויסתיים בסוף העולם של לינוקס. יובל תסביר בבקשה 🙂

וזה, אגב, מופע של אנסקולינג (תודה ניצן על פוסט מצויין).
ככה לומדים אצלנו. בעיקר מתמטיקה כי זה מה שההורים שלהן אוהבים.

אור שאלה את יובל למה כשהוא בא אלי עם השאלה אני אמרתי לו שתי מילים והוא קפץ ואמר "הבנתי" והלך, ואילו לה לוקח 10 דקות להבין על מה הוא מדבר.
זאת לא חוכמה. הוא ואני למדנו מתמטיקה ביחד איזה 7 שנים (בתיכון ובטכניון). אנחנו מדברים את השפה וגם מבינים אחד את השני טוב (כלכך טוב שהתחתנו). וככה יוצא שאצלנו נחשפים יותר למתמטיקה מאשר לתחומים אחרים. מה לעשות. כל ילד מקופח בדרכו.

הנה נטע, מדגימה משחק:

6 Comments

הגב